Question

設(shè)曲線(xiàn)y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，1）處的切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，則x₁•x₂•…•x₂₀₁₁的值為（　　）

• A、

  1

  2010

• B、

  2009

  2010

• C、

  1

  2012

• D、

  2010

  2011

Answer 1

分析：先求出其導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入，求出切線(xiàn)的斜率，進(jìn)而得到切線(xiàn)方程，找到切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，即可求出結(jié)論．

解答：解：因?yàn)閥=xⁿ⁺¹，
故y′=（n+1）xⁿ，
所以x=1時(shí)，y′=n+1，
則直線(xiàn)方程為y-1=（n+1）（x-1），
令y=0，則x=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
故切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為（

n

n+1

，0）
則x₁•x₂•…•x₂₀₁₁=

1

2

×

2

3

× 

3

4

×…×

2011

2012

=

1

2012

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)在求切線(xiàn)方程中的應(yīng)用以及函數(shù)與數(shù)列的綜合問(wèn)題．在利用導(dǎo)函數(shù)求切線(xiàn)方程時(shí)，應(yīng)知道切線(xiàn)的斜率為導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的函數(shù)值．