Question

9．已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{a}{x}（a∈$R），g（x）=lnx，若關(guān)于x的方程$\frac{g（x）}{x^2}=f（x）-2e$（e為自然對數(shù)的底數(shù)）只有一個實數(shù)根，則a=${e^2}+\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 把方程化為 $\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+a，求得 h（x）=$\frac{lnx}{x}$的最大值為 h（e）=$\frac{1}{e}$，再求得m（x）=x²-2ex+a 的最小值 m（e）=a-e²，根據(jù) a-e²=$\frac{1}{e}$求出a的值．

解答 解：關(guān)于x的方程 $\frac{g（x）}{{x}^{2}}$=f（x）-2e，可化為$\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+a，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，令h'（x）=0，得x=e，
故 h（x）的最大值為 h（e）=$\frac{1}{e}$，
令m（x）=x²-2ex+a，可得：x=e時，m（x）的最小值 m（e）=a-e² ，
由 a-e²=$\frac{1}{e}$可得 a=e²+$\frac{1}{e}$，
故答案為：${e^2}+\frac{1}{e}$．

點評 本題主要考查導數(shù)的運算法則的應用，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．