Question

（本小題滿分12分）如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．

   （Ⅰ）點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由；

   （Ⅱ）證明：無(wú)論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PE⊥AF；

   （Ⅲ）當(dāng)BE等于何值時(shí)，二面角P-DE-A的大小為45°．

Answer 1

思路點(diǎn)撥：本題是一個(gè)開(kāi)放型問(wèn)題，考查了線面平行、線面垂直、二面角等知識(shí)，考查了同學(xué)們解決空間問(wèn)題的能力。

   （Ⅰ）利用三角形的中位線及線面平行的判定定理解決；

   （Ⅱ）通過(guò)證明即可解決；

   （Ⅲ）作出二面角的平面角，設(shè)出BE的長(zhǎng)度，然后在直角三角形DCE 中列方程求解BE的長(zhǎng)度。本題也可利用向量法解決。

解: 解法一:（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，與平面平行．-------1分

∵在中，、分別為、的中點(diǎn)，∴∥   又平面，

而平面       ∴∥平面．              ………4分

（Ⅱ）證明:,

，又,

又，∴． ---------------------------------6分

又,點(diǎn)是的中點(diǎn),

,．

．………8分

（Ⅲ）過(guò)作于，連，

又∵，則平面,

則是二面角的平面角，

∴，………10分

∵與平面所成角是，∴，

∴，．

∴，，設(shè)，則，，

在中，，

得．                ………12分

解法二:（向量法）（Ⅰ）同解法一………………4分

（Ⅱ）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，

，，．

設(shè)，則

   ∴   ………8分

（Ⅲ）設(shè)平面的法向量為，由，得：，

而平面的法向量為,

∵二面角的大小是,所以=，

∴，

得 或 （舍）．  ………………12分

歸納總結(jié)：無(wú)論是線面平行（垂直）還是面面平行（垂直），都源自于線與線的平行（垂直），這種“高維”向“低維”轉(zhuǎn)化的思想方法，在解題時(shí)非常重要，在處理實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，可以先從題設(shè)條件入手，分析已有的平行（垂直）關(guān)系，再?gòu)慕Y(jié)論入手分析所要證明的平行（垂直）關(guān)系，從而架起已知與未知之間的橋梁。  而空間向量是解答立體幾何問(wèn)題的有利工具，它有著快捷有效的特征，是近幾年高考中一直考查的重點(diǎn)內(nèi)容。