Question

已知函數(shù)．

(Ⅰ)若無極值點，但其導(dǎo)函數(shù)有零點，求的值；

(Ⅱ)若有兩個極值點，求的取值范圍，并證明的極小值小于．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) （Ⅱ），利用單調(diào)性證明

【解析】

試題分析：(Ⅰ)首先，  ，有零點而無極值點，表明該零點左右同號，故，且的由此可得 

（Ⅱ）由題意，有兩不同的正根，故.

解得： ，設(shè)的兩根為，不妨設(shè)，因為在區(qū)間上，，而在區(qū)間上，，故是的極小值點.因在區(qū)間上是減函數(shù)，如能證明則更有由韋達(dá)定理，，

令其中設(shè) ，利用導(dǎo)數(shù)容易證明當(dāng)時單調(diào)遞減，而，因此，即的極小值 

（Ⅱ）另證：實際上，我們可以用反代的方式證明的極值均小于.

由于兩個極值點是方程的兩個正根，所以反過來，

（用表示的關(guān)系式與此相同），這樣

即，再證明該式小于是容易的（注意，下略）.

考點：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運用

點評：對于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)這一綜合問題的命制，一般以有理函數(shù)與半超越（指數(shù)、對數(shù)）函數(shù)的組合復(fù)合且含有參量的函數(shù)為背景載體，解題時要注意對數(shù)式對函數(shù)定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數(shù)學(xué)思想的運用