Question

已知函數(shù)．

(Ⅰ)若無(wú)極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)，求的值；

(Ⅱ)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明的極小值小于．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) （Ⅱ），利用單調(diào)性證明

【解析】

試題分析：(Ⅰ)首先，  ，有零點(diǎn)而無(wú)極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右同號(hào)，故，且的由此可得 

（Ⅱ）由題意，有兩不同的正根，故.

解得： ，設(shè)的兩根為，不妨設(shè)，因?yàn)樵趨^(qū)間上，，而在區(qū)間上，，故是的極小值點(diǎn).因在區(qū)間上是減函數(shù)，如能證明則更有由韋達(dá)定理，，

令其中設(shè) ，利用導(dǎo)數(shù)容易證明當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，而，因此，即的極小值 

（Ⅱ）另證：實(shí)際上，我們可以用反代的方式證明的極值均小于.

由于兩個(gè)極值點(diǎn)是方程的兩個(gè)正根，所以反過(guò)來(lái)，

（用表示的關(guān)系式與此相同），這樣

即，再證明該式小于是容易的（注意，下略）.

考點(diǎn)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)這一綜合問(wèn)題的命制，一般以有理函數(shù)與半超越（指數(shù)、對(duì)數(shù)）函數(shù)的組合復(fù)合且含有參量的函數(shù)為背景載體，解題時(shí)要注意對(duì)數(shù)式對(duì)函數(shù)定義域的隱蔽，這類問(wèn)題重點(diǎn)考查函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、不等式方程的求解等基本知識(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)思想的運(yùn)用