Question

9．已知函數(shù)f（x）=4sinωx•sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+1（ω＞0）的最小正周期是π．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和公式對函數(shù)解析式進(jìn)行化簡整理，根據(jù)最小周期求得ω，進(jìn)而求得函數(shù)解析式，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由已知可求2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可求sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[0，1]，從而可求值域．

解答 解：（1）f（x）=4sinωxsin（ωx+$\frac{π}{6}$）+1=4sinωx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{1}{2}$cosωx）+1=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx+1
=sin2ωx+$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$cos2ωx+1
=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$+1，
∵T=$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}+1$，
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[k$π-\frac{π}{12}$，k$π+\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[0，1]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$+1∈[1+$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$]．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變化的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)周期性及其解法，屬于基本知識的考查．