Question

【題目】已知拋物線：，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)到直線的距離為，焦點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，且.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若在軸上存在點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線距離公式求得，由拋物線的定義求得，根據(jù)的值列方程，解方程求得的值，由此求得拋物線方程.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，寫出判別式和韋達(dá)定理.化簡的表達(dá)式，根據(jù)為定值求得的值，由此求得點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（1）由題意知，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，

又，解得：.

故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，

顯然直線的斜率不為0.

設(shè)直線的方程為.

聯(lián)立方程，消去，并整理得，

則且，.

由，.

有.

若為定值，必有.

所以當(dāng)為定值時，點(diǎn)的坐標(biāo)為.