Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|+|x|．
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）＞2；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得不等式f（x）$≤\frac{{t}^{2}+3}{t+1}$對(duì)任意t＞-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a(bǔ)=1，代入不等式f（x）＞2，利用絕對(duì)值的幾何意義得答案；
（Ⅱ）利用不等式求出$\frac{{t}^{2}+3}{t+1}$在t＞-1時(shí)的最小值，轉(zhuǎn)化為存在x∈R，使得不等式f（x）≤2成立，進(jìn)一步借助于絕對(duì)值的幾何意義求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1，f（x）=|x-1|+|x|．
不等式f（x）＞2化為|x-1|+|x|＞2．
如圖，由絕對(duì)值的幾何意義可得：
（Ⅱ）當(dāng)t＞-1時(shí)，t+1＞0，
$\frac{{t}^{2}+3}{t+1}=\frac{（t+1）^{2}-2（t+1）+4}{t+1}$=$（t+1）+\frac{4}{t+1}-2≥2\sqrt{（t+1）•\frac{4}{t+1}}-2=2$．
當(dāng)且僅當(dāng)t+1=$\frac{4}{t+1}$，即t=1時(shí)取等號(hào)；
若存在x∈R，使得不等式f（x）$≤\frac{{t}^{2}+3}{t+1}$對(duì)任意t＞-1恒成立，
即存在x∈R，使得不等式f（x）≤2成立．
∴在x∈R，使|x-a|+|x|≤2成立．
如圖，由絕對(duì)值的幾何意義可得：
-2≤a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了絕對(duì)值不等式的解法，正確理解、運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．