Question

已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，直線l過點M（m，0）．
（Ⅰ）若直線l交y軸于點N，當m=-1時，MN中點恰在橢圓C上，求直線l的方程；
（Ⅱ）如圖，若直線l交橢圓C于A，B兩點，當m=-4時，在x軸上是否存在點p，使得△PAB為等邊三角形？若存在，求出點p坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設點N（0，n），表示出MN中點坐標，代入橢圓方程即可求得n值，從而可得直線方程；
（Ⅱ）假設在x軸上存在點P，使得△PAB為等邊三角形．設直線l為x=ty-4，寫出AB中垂線方程，進而得到P點坐標，表示出P到直線l的距離d，據(jù)弦長公式求出|AB|，則有d=

3

2

•|AB|
，解出即可，注意要保證直線與橢圓有兩個交點，即直線與橢圓方程聯(lián)立消元后△＞0．

解答：解：（Ⅰ）設點N（0，n），則MN的中點為（-

1

2

，

n

2

），
∴

(- 1 2 )2

4

+

( n 2 )2

3

=1，解得n=±

3

2

5

，
所以直線l的方程為：y=±

3

2

5

（x+1）．                         
（Ⅱ）假設在x軸上存在點P，使得△PAB為等邊三角形．
設直線l為x=ty-4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

x=ty-4 3x2+4y2=12

，∴（3t²+4）y²-24ty+36=0，
∴y₁+y₂=

24t

3t2+4

，y1y2=

36

3t2+4

，△=144（t²-4）＞0，
∴AB中點為（

-16

3t2+4

，

12t

3t2+4

），
∴AB的中垂線為：y-

12t

3t2+4

=-t（x+

16

3t2+4

），
∴點P為（-

4

3t2+4

，0），∴P到直線l的距離d=

| 2t2+12 3t2+4 |

t2+1

=

12 t2+1

3t2+4

，
∵|AB|=

12 t2-4

3t2+4

1+t2

，
∴

12 t2+1

3t2+4

=

3

2

•

12 t2-4

3t2+4

1+t2

，
∴t=±

4 3

3

，
∴存在點P為（-

1

5

，0）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題、直線方程，考查學生的運算變形能力，考查學生分析解決問題的能力．