Question

8．設(shè)y=f（x）是R上的奇函數(shù)．且當(dāng)x∈R時(shí)．都有f（x+2）=-f（x）
（1）試證明f（x）是周期函數(shù)．并求其周期：
（2）試證x=1是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸：
（3）若當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=sinx．試寫出當(dāng)x∈[1，5]時(shí)．f（x）的解析式：
（4）對于第（3）小題中的f（x）．若集A={x||f（x）|＞a，x∈R}是非空集合，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知中當(dāng)x∈R時(shí)．都有f（x+2）=-f（x），易得f（x+4）=f（x），根據(jù)函數(shù)周期性的定義，可得結(jié)論；
（2）結(jié)合函數(shù)的奇偶性，可得f（x）=f（-x+2），故x=1是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸：
（3）由當(dāng)x∈R時(shí)．都有f（x+2）=-f（x），可得f（x-2）=-f（x），f（x-4）=f（x），結(jié)合當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=sinx．可得當(dāng)x∈[1，5]時(shí)．f（x）的解析式：
（4）結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出|f（x）|的最大值，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 證明：（1）∵當(dāng)x∈R時(shí)．都有f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)．
（2）∵y=f（x）是R上的奇函數(shù)．
∴f（x）=-f（-x）
又由當(dāng)x∈R時(shí)．都有f（x+2）=-f（x）
∴-f（-x）=f（-x+2），
即f（x）=f（-x+2），
故x=1是函數(shù)y=f（x）圖象的對稱軸：
解：（3）∵當(dāng)x∈R時(shí)．都有f（x+2）=-f（x）
∴f（x-2）=-f（x），f（x-4）=f（x），
當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=sinx．
∴當(dāng)1≤x≤3時(shí)，-1≤x-2≤1，
此時(shí)f（x-2）=sin（x-2）=-f（x），
∴f（x）=-sin（x-2）
∴當(dāng)3≤x≤5時(shí)，-1≤x-4≤1，
此時(shí)f（x-4）=sin（x-4）=f（x），
∴f（x）=sin（x-5）
綜上所述：當(dāng)x∈[1，5]時(shí)．f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-sin（x-2），1≤x≤3\\ sin（x-4），3≤x≤5\end{array}\right.$，
（4）當(dāng)x∈[1，5]時(shí)．f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-sin（x-2），1≤x≤3\\ sin（x-4），3≤x≤5\end{array}\right.$∈[sin（-1），sin1]，
∴|f（x）|∈[0，sin1]，
若集A={x||f（x）|＞a，x∈R}是非空集合，
則sin1＞a，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，sin1）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的周期性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的對稱性，函數(shù)的解析式，函數(shù)的值域，函數(shù)的最值，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．