Question

5．證明對任意k，方程x²+（kx-2）²=$\frac{1}{{x}^{2}}$恒有解．

Answer 1

分析 構造函數(shù)f（x）=x²+（kx-2）²-$\frac{1}{{x}^{2}}$，求導f′（x）=2x+2k（kx-2）+$\frac{2}{{x}^{3}}$，從而分類討論以確定函數(shù)的單調性，并利用函數(shù)零點的判定定理求解即可．

解答 證明：構造函數(shù)f（x）=x²+（kx-2）²-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
f′（x）=2x+2k（kx-2）+$\frac{2}{{x}^{3}}$，
①當k≤0時，若x＞0，則f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$（x²+（kx-2）²-$\frac{1}{{x}^{2}}$）=-∞，
f（1）=1+（k-2）²-1=（k-2）²＞0，
故方程x²+（kx-2）²=$\frac{1}{{x}^{2}}$有解；
②當k＞0時，若x＜0，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$（x²+（kx-2）²-$\frac{1}{{x}^{2}}$）=-∞，
f（-1）=1+（-k-2）²-1=（-k-2）²＞0，
故方程x²+（kx-2）²=$\frac{1}{{x}^{2}}$有解；
綜上所述，對任意k，方程x²+（kx-2）²=$\frac{1}{{x}^{2}}$恒有解．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及分類討論的思想應用．