Question

（本小題滿分12分）設雙曲線的兩個焦點分別為,離心率為2.

（Ⅰ）求此雙曲線的漸近線的方程；

（Ⅱ）若分別為上的點，且2|AB|=5|F1F2|，求線段的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）的軌跡方程為 則的軌跡是中心在原點，焦點在軸上長軸長為，短軸長為的橢圓.

【解析】

試題分析：由離心率，得出漸近線方程；第二步設而不求，先設出，，的中點，利用已知條件，得出相應的關系，再根據(jù)點分別為上的點，坐標滿足直線方程，兩式相加得，兩式相減得：，把和代入=10，另外利用中點坐標公式，求出點的軌跡方程；

試題解析：（Ⅰ）由 ，雙曲漸近線方程為;

（Ⅱ）設，，的中點

∵∴,∴=10，又，兩式相加，兩式相減：，則，

,則根據(jù)中點坐標公式：，∴，則的軌跡方程為

則的軌跡是中心在原點，焦點在軸上長軸長為，短軸長為的橢圓.

考點：1.雙曲線的離心率與漸近線方程；2.求動點軌跡方程；