Question

22.

    設(shè)A、B是橢圓上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點.

   （Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；

（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由.

Answer 1

22.本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識以及推理運算能力和綜合解決問題的能力.

（I）解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為，整理得

   ①

設(shè)①的兩個不同的根，

   ②

是線段AB的中點，得

解得k=-1，代入②得，>12，即的取值范圍是（12，+）.

于是，直線AB的方程為

解法2：設(shè)

依題意，

（II）解法1：

代入橢圓方程，整理得

  ③

③的兩根，

于是由弦長公式可得

   ④

將直線AB的方程

   ⑤

同理可得

    ⑥

假設(shè)存在>12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.點M到直線AB的距離為

     ⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故當(dāng)時，A、B、C、D四點均在以M為圓心，為半徑的圓上.

（注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得）

A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角

   ⑧

由⑥式知，⑧式左邊=

由④和⑦知，⑧式右邊=

                  

∴⑧式成立，即A、B、C、D四點共圓

解法2：由（II）解法1及，

代入橢圓方程，整理得

       ③

將直線AB的方程代入橢圓方程，整理得

　　�、�

解③和⑤式可得

 

不妨設(shè)

）.

∴

。

計算可得，∴A在以CD為直徑的圓上.

又B為A關(guān)于CD的對稱點，∴A、B、C、D四點共圓.

（注：也可用勾股定理證明AC⊥AD）.