Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn).

（1）若直線與圓相切，求直線的方程；

（2）若直線與軸的交點(diǎn)為，且，，試探究：是否為定值.若為定值，求出該定值，若不為定值，試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值.

【解析】

（1）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，由直線與圓相切，得出圓心到直線的距離等于半徑，進(jìn)而可求得直線的方程；

（2）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，可知當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不滿足題意，在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出關(guān)于、的表達(dá)式，代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)計(jì)算可求得的值.

（1）由已知得.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，直線與圓相交，不合乎題意；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，

由直線與圓相切，得，解得.

綜上所述，直線的方程為；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意；

當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)、.

若，則直線與軸平行，不合乎題意，所以.

聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，

易知，由，得，

則，，同理可得，

所以，

所以為定值.