Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax-a²x²（a∈R）．
（I）若x=1是函數(shù)y=f（x）的極值點，求a的值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（I）因為f（x）=lnx+ax-a²x²其定義域為（0，+∞），
所以
∵x=1是函數(shù)y=f（x）的極值點
∴f′（1）=0
∴1+a-2a²=0
∴或a=1
經(jīng)檢驗，或a=1時，x=1是函數(shù)y=f（x）的極值點
（II）
若，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）
若a≠0，令，∴
當(dāng)a＞0時，函數(shù)在區(qū)間，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；在區(qū)間，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
當(dāng)a＜0時，函數(shù)在區(qū)間，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；在區(qū)間，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
分析：（I）由題設(shè)條件，可求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用f′（1）=0建立方程求出a的值；
（II）求導(dǎo)函數(shù)，再進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)大于0，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)小于0，求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)．