Question

已知函數(shù)f(x)＝x³＋mx²＋nx－2的圖象過點(－1，－6)，且函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．

(Ⅰ)求m、n的值及函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若a＞0，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a－1，a＋1)內(nèi)的極值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由函數(shù)f(x)圖象過點(－1，－6)，得m－n＝－3，　　① 　　由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n， 　　則g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n； 　　而g(x)圖象關(guān)于y軸對稱，所以－＝0，所以m＝－3， 　　代入①得n＝0． 　　于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)． 　　由f′(x)＞得x＞2或x＜0， 　　故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)，(2，＋∞)； 　　由f′(x)＜0得0＜x＜2， 　　故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，2)． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)得f′(x)＝3x(x－2)， 　　令f′(x)＝0得x＝0或x＝2． 　　當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表： 　　由此可得： 　　當0＜a＜1時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極大值f(O)＝－2，無極小值； 　　當a＝1時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)無極值； 　　當1＜a＜3時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)有極小值f(2)＝－6，無極大值； 　　當a≥3時，f(x)在(a－1，a＋1)內(nèi)無極值． 　　綜上得：當0＜a＜1時，f(x)有極大值－2，無極小值，當1＜a＜3時，f(x)有極小值－6，無極大值；當a＝1或a≥3時，f(x)無極值．