Question

已知函數(shù)f（x）=（4x²-4ax+a²）

x

，其中a＞0．
（I）當(dāng)a=4時，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[1，4]上的最小值為8，求a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=4時，先求導(dǎo)，在根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值，即得到參數(shù)的一個方程，從而求出參數(shù)的值．

解答： 解；（Ⅰ）當(dāng)a=4時，f（x）=（4x²-16x+16）

x

，
∴f′（x）=（8x-16）

x

+（4x²-16x+16）

1

2 x

=2

x

（5x+

4

x

-12）=

2 x

x

（5x²-12x+4），
∵f′（x）＜0，x≥0，
∴5x²-12x+4＜0
解得，

2

5

＜x＜2，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（

2

5

，2）；
（Ⅱ）∵f（x）=（4x²-4ax+a²）

x

∴f′（x）=

x

2x

（20x²-12ax+a²）
令f′（x）=0．解得x=

a

10

或

a

2

，
當(dāng)f′（x）＞0時，x在（0，

a

10

），（

a

2

，+∞）為單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時，x在（

a

10

，

a

2

）上單調(diào)遞減，
①當(dāng)

a

10

≥4，即a≥40，f（x）在區(qū)間[1，4]為增函數(shù)，
由f（1）=8，解得a=2±2

2

，不符合舍去．
②當(dāng)

a

2

≤1，即0＜a≤2時，f（x）在區(qū)間[1，4]為增函數(shù)，
由f（1）=8，解得a=2±2

2

，不符合舍去．
③當(dāng)

a

10

≤1，且

a

2

≥4，即8≤a≤10時，f（x）在區(qū)間[1，4]為減函數(shù)，
由f（4）=8，解得a=10，
④當(dāng)1＜

a

10

＜4，即10＜a＜40時，由f（1）=8或f（4）=8，
解得，a=2±2

2

，或a=6，a=10，不符合舍去，
⑤當(dāng)1＜

a

2

＜4，即4＜a＜8時，由f（

a

2

）=8，無解．
綜上所述，a=10．

點評：本題考查的是導(dǎo)數(shù)知識，重點是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，難點是分類討論．對學(xué)生的能力要求較高，屬于難題．