Question

已知函數(shù)f（x）滿足：①對(duì)任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）；②當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，
f（x）=2-x．則（Ⅰ）f（4）=

 

（Ⅱ）方程f(x)=

1

5

的最小正數(shù)解為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題中的條件得到函數(shù)的解析式為：f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，

解答：解：依題意，f（4）=2f（2）=2（2-2）=0；
∵對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2-x，
又f（x）=

1

5

，
∴①當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，2-x=

1

5

，解得x=

9

5

；
②當(dāng)2x∈（1，2]，即x∈（

1

2

，1]時(shí)，f（x）=

1

2

f（2x）=

1

2

（2-2x）=

1

5

，解得x=

4

5

；
③當(dāng)4x∈（1，2]，即x∈（

1

4

，

1

2

]時(shí)，f（x）=

1

22

f（4x）=

1

22

（2-4x）=

1

5

，解得x=

3

10

；
④當(dāng)8x∈（1，2]，即x∈（

1

8

，

1

4

]時(shí)，f（x）=

1

23

f（8x）=

1

23

（2-8x）=

1

5

，解得x=

1

20

∉（

1

8

，

1

4

]；
∵

3

10

＜

4

5

＜

9

5

，
∴方程f（x）=

1

5

的最小正數(shù)解為

3

10

．
故答案為：0，

3

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)解析式的理解與應(yīng)用，突出轉(zhuǎn)化思想與方程思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．