Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，動點(diǎn)M（x，y）在y軸的左側(cè)，且點(diǎn)M到定點(diǎn)F（-1，0）的距離與到y(tǒng)軸的距離之差為1．
（1）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）若過點(diǎn)P（-3，-2）的直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好是AB的中點(diǎn)，求線段AB的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)動點(diǎn)M（x，y）在y軸的左側(cè)，且點(diǎn)M到定點(diǎn)F（-1，0）的距離與到y(tǒng)軸的距離之差為1，建立方程，化簡可求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）利用點(diǎn)差法求出直線AB的斜率，可得AB的方程美譽(yù)拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線的定義，可求線段AB的長度．

解答： 解：（1）依題意有：

(x+1)2+y2

-(-x)=1…（2分）
即

(x+1)2+y2

=1-x，平方化簡得：y²=-4x
∴M點(diǎn)的軌跡方程為y²=-4x（x＜0）…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y12=-4x1，y22=-4x2⇒（y₁+y₂）（y₁-y₂）=-4（x₁-x₂），
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=

-4

-4

=1，
∴l(xiāng)_AB：y+2=（x+3）即y=x+1…（8分）

y2=-4x y=x+1

⇒x2+2x+1=-4x⇒x2+6x+1=0，
∴x₁+x₂=-6，∴|AB|=（1-x₁）+（1-x₂）=8
即線段AB的長度為8                                         …（12分）

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，屬于中檔題．