Question

6．已知二次函數f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[3m，m+2]上不單調，求實數m的取值范圍；
（3）求函數f（x）在區(qū)間[t-1，t]上的最小值g（t）．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函數圖象的頂點為（1，1），將f（0）=3代入，可得f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[3m，m+2]上不單調，則1∈（3m，m+2），解得實數m的取值范圍；
（3）結合二次函數的圖象和性質，分析各種情況下，函數f（x）在區(qū)間[t-1，t]上的最小值g（t），綜合討論結果，可得答案．

解答 解：（1）∵f（0）=f（2）=3，
∴函數圖象關于直線x=1對稱，
又∵二次函數f（x）的最小值為1，
∴設f（x）=a（x-1）²+1，
由f（0）=3得：a=2，
故f（x）=2（x-1）²+1=2x²-4x+3．------------------（3分）                        
（2）要使函數在區(qū)間[3m，m+2]上不單調，
則1∈（3m，m+2），
解得：m∈（-1，$\frac{1}{3}$）．--------（6分）   
（3）由（1）知f（x）=2（x-1）²+1，
所以函數f（x）圖象開口向上，對稱軸方程為x=1------------（7分）
①當t-1≥1即t≥2時，函數f（x）在區(qū)間[t-1，t]上單調遞增
當x=t-1時，f（x）的最小值g（t）=2t²-4t+9------------------（9分）
②當t-1＜1＜t．即1＜t＜2時，函數f（x）在區(qū)間[t-1，1]上單調遞減，在區(qū)間[1，t]上單調遞增，
當x=1時，f（x）的最小值g（t）=1------------------（11分）
③當t≤1時，函數f（x）在區(qū)間[t-1，t]上單調遞減
當x=t時，f（x）的最小值g（t）=2t²-4t+3-----------------（13分）
綜上所述，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}2{t}^{2}-4t+3，t≤1\\ 1，1＜t＜2\\ 2{t}^{2}-4t+9，t≥2\end{array}\right.$．-----------------（14分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．