Question

如圖，圓O為單位圓，A（1，0），B(

3

2

，

1

2

)，C(

2

2

，

2

2

)，D(

1

2

，

3

2

)，E（0，1），F(-

1

2

，

3

2

)為圓O上的定點，點M為圓O上的動點．M第一次由點A按逆時針方向運動到某定點，所形成的角為α；M第二次由點A按逆時針方向運動到某定點，所形成的角為β．
（Ⅰ） 當點M第一次由點A按逆時針方向運動到定點C，第二次由點A按逆時針方向運動到定點D時，求cos（α-β）的值；
（Ⅱ）在A、B、C、D、E、F中是否存在兩個點，能使角α，β同時滿足α+2β=

3π

2

，且tan

α

2

tanβ=3-2

3

．若不存在，說明理由； 若存在，找出定點并證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據C的坐標及C在第一象限，得到tanα的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，即為α的度數(shù)；同理根據D的坐標，及第二次由點A按逆時針方向運動到某定點D，得到β的度數(shù)，代入cos（α-β），把角

π

12

變形為

π

4

-

π

3

，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求出值；
（Ⅱ）存在兩點B和F，滿足題意，理由為：由已知的α+2β的度數(shù)求出

α

2

+β的度數(shù)，然后利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡tan（

α

2

+β），把tan

α

2

tanβ的值及

α

2

+β的度數(shù)代入，求出tan

α

2

+tanβ的值，兩者聯(lián)立分別求出tan

α

2

和tanβ的值，根據特殊角的三角函數(shù)值即可得到α，β的度數(shù)，進而找出對應的點．

解答：解：（Ⅰ）當點M第一次由點A按逆時針方向運動到定點C時，所形成的角為α=

π

4

，
第二次由點A按逆時針方向運動到定點D時，所形成的角為β=

π

3

，
則cos（α-β）=cos

π

12

=cos（

π

4

-

π

3

）=cos

π

4

cos

π

3

+sin

π

4

sin

π

3

=

6 + 2

2

；
（Ⅱ）存在，當點M第一次由點A按逆時針方向運動到定點B，
第二次由點A按逆時針方向運動到定點F時，角α=

π

6

，β=

2π

3

，滿足題意，
理由如下：
由α+2β=

3π

2

，得到

α

2

+β=

3π

4

，
∵tan

α

2

tanβ=3-2

3

，
∴tan（

α

2

+β）=

tan α 2 +tanβ

1-tan α 2 tanβ

=

tan α 2 +tanβ

1- (3-2 3 )

=-1，
∴tan

α

2

+tanβ=2-2

3

，
∴tan

α

2

=-

3

，tanβ=2-

3

或tan

α

2

=2-

3

，tanβ=-

3

，
當

α

2

=

2π

3

，β=

π

12

，不滿足題意；
當

α

2

=

π

12

，即α=

π

6

，β=

2π

3

時，滿足題意，
則M第一次由點A按逆時針方向運動到某定點B，
第二次由點A按逆時針方向運動到定點F時滿足題意．

點評：此題考查了三角函數(shù)恒等式的證明，涉及的知識有兩角和與差的正切、余弦函數(shù)公式，點與坐標系，銳角三角函數(shù)定義，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．