Question

14．已知正三棱柱的棱長(zhǎng)均為2，則其外接球體積為$\frac{{28\sqrt{21}}}{27}π$．

Answer 1

分析 作出圖形，由正三棱柱的性質(zhì)可知外接球的球心為棱柱上下底面中心連線的中點(diǎn)，利用勾股定理求出球的半徑，得出球的體積．

解答 解：取三棱柱ABC-A′B′C′的兩底面中心O，O′，連結(jié)OO′，取OO′的中點(diǎn)D，連結(jié)BD
則BD為三棱柱外接球的半徑．
∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，O是△ABC的中心，
∴BO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
又∵OD=1，
∴BD=$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
∴三棱柱外接球的體積V=$\frac{4}{3}$π×BD³=$\frac{{28\sqrt{21}}}{27}π$．
故答案為$\frac{{28\sqrt{21}}}{27}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了多面體與外接球的關(guān)系，球的體積計(jì)算，屬于中檔題．