Question

給定集合A_n={1，2，3，…，n}（n∈N₊），映射f_：A_n→A_n滿足：①當i，j∈A_n，i≠j時，f（i）≠f（j）；②任取m∈A_n，若m≥2，則有m∈{f（1），f（2），…，f（m）}．則稱映射f_：A_n→A_n是一個“優(yōu)映射”．例如：用表1表示的映射f_：A₃→A₃是一個“優(yōu)映射”．
表1                          

i	1	2	3
f（i）	2	3	1

表2

i	1	2	3	4
f（i）		3

（1）已知表2表示的映射f_：A₄→A₄是一個“優(yōu)映射”，請把表2補充完整．
（2）若映射f_：A₆→A₆是“優(yōu)映射”，且方程f（i）=i的解恰有3個，則這樣的“優(yōu)映射”的個數是

 

．

Answer 1

考點：映射

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據“優(yōu)映射”的定義可得：

i	1	2	3	4
f（i）	2	3	3	1

（2）根據“優(yōu)映射”的定義，可知f（1）≠1，m≥2，根據m∈{f（1），f（2），..，f（m）}，且方程f（i）=i的解恰有3個，因此從2，3，…6這5個數中選取3個滿足方程f（i）=i即可求得結果．

解答： 解；（1）表2補充完整后如下圖所示：

i	1	2	3	4
f（i）	2	3	3	1

（2）根據優(yōu)映射的定義可知：f（1）≠1，
∵m≥2，則有m∈{f（1），f（2），..，f（m）}，且映射f：A₆→A₆是“優(yōu)映射”，且方程f（i）=i的解恰有3個，
故有C₅³=10
故答案為：（1）2，4，1，（2）10；

點評：本題考查映射的定義，“優(yōu)映射”的定義，判斷f（1）≠1，是解題的關鍵，是一道不錯的創(chuàng)新題，屬中檔題．