Question

如圖，在三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AB⊥側面BB₁C₁C，已知BB₁=2，

AB=

   （I）求證：C₁B⊥平面ABC；

   （II）試在棱CC₁（不包含端點C，C₁）上確定一點E的位置，使得EA⊥EB₁；

   （III）在（II）的條件下，求二面角E―AB₁―B的大小。

Answer 1

解：（I）因為AB⊥側面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁

在△BC₁C中，BC=1，CC₁=BB₁=2，由余弦定理有

故有BC²+BC²₁=CC²₁    ∴C₁B⊥BC                                              

而BC∩AB=B且AB，BC平面ABC

∴C₁B⊥平面ABC                                                                          

   （II）由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE平面ABE

從而B₁E⊥平面ABF  且BE平面ABE  故BE⊥B₁E                    

不妨設

從而（舍）                               

故E為CC₁的中點時，EA⊥EB₁                                                     

   （III）∵AB⊥平面BCC₁B₁  ∴平面ABB₁A₁⊥平面BCC₁B₁

又平面ABB₁A₁∩平面BCC₁B₁=BB₁

作EM⊥BB₁于M，則EM⊥平面ABB₁A₁，作MN⊥AB₁于N，連EN，則EN⊥AB₁

∴∠ENM為二面角E―AB₁―B的平面角。

過B作BF∥ME于F，

∵∠BCE=

∵△B₁BA∽△B₁NM