Question

8．在△ABC中，角$C=\frac{π}{3}$，邊AB=1，則△ABC周長的取值范圍是（　�。�

• A． （2，3]
• B． [1，3]
• C． （0，2]
• D． （2，5]

Answer 1

分析 由正弦定理可得a=2sinA，b=2sinB，再由兩角和差的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{1}{sin\frac{π}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即有a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，
則△ABC周長=a+b+c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+1
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinB）+1
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]+1
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）+1
=2sin（A+$\frac{π}{6}$）+1，
由0＜A＜$\frac{2π}{3}$，可得：$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，解得：$\frac{1}{2}＜$sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1
解得：2sin（A+$\frac{π}{6}$）+1∈（2，3]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理的運(yùn)用，兩角和差的正弦、余弦公式和余弦函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．