Question

已知數(shù)列是其前n項的和，且

（I）求數(shù)列的通項公式；

（II）設(shè)，是否存在最小的正整數(shù)k，使得對于任意的正整數(shù)n，有恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由

Answer 1

解：（I）由已知a_n=7S_n－1+2  ①得 a_n+1=7S_n+2  ②

②－①，得a_n+1－a_n=7(S_n－S_n－1=7a_n  (n≥2)      

∴a_n+1=8a_n(n≥2)，又a₁=2，

∴a₂=7a₁+2=16=8a₁，

∴a_n+1=8a_n(n=1，2，3…)

所以數(shù)列{a_n}是一個以2為首項，8為公比的等比數(shù)列

∴a_n=2?8^n－1=2^3n－2

（II）

∵n是正整數(shù)，∴n≥1，∴－3n+1<0

∴T_n+1－T_n<0，T_n+1<T_n，即數(shù)列{T_n}是一個單調(diào)遞減數(shù)列，又T₁=b₂=

∴T_n≤T₁=，若T_n<恒成立，則<，即k>3

又k是正整數(shù)，故存在最小正整數(shù)k為4使T_n<恒成立.