Question

已知函數(shù)f(x)滿足f(x²－3)＝log_a(a＞0且a≠1)，

(1)求f(x)的解析式；

(2)判斷f(x)的奇偶性；

(3)解不等式f(x)≥log_a(2x)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令t＝x2－3，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1729/0408/0874c5304020ec6cfdd0349a5ec7c159/C/Image695.gif" width=40 HEIGHT=41>＞0，得0＜x2＜6，故－3＜t＜3； 　　所以x2＝t＋3，6－x2＝3－t，可得f(t)＝loga，－3＜t＜3，所以函數(shù)解析式為f(x)＝loga，－3＜x＜3． 　　(2)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?－3，3)關(guān)于原點(diǎn)對稱，任取x∈(－3，3)，有 　　f(－x)＝loga＝loga()－1＝－loga＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)． 　　(3)由f(x)≥loga(2x)，即loga≥loga(2x)． 　　當(dāng)a＞1時(shí)，有 　　0＜x≤1或≤x＜3； 　　當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有1≤x≤． 　　綜上可得：當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為{x|0＜x≤1或≤x＜3}；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為{x|1≤x≤}． 　　點(diǎn)評：求解函數(shù)解析式時(shí)不要忘記函數(shù)的定義域，求解對數(shù)不等式實(shí)際是解不等式組，真數(shù)大于0不要忽略；準(zhǔn)確運(yùn)用底數(shù)的范圍對函數(shù)單調(diào)性的影響，從而得出正確的不等式．

提示：

這是個(gè)對數(shù)式的復(fù)合函數(shù)問題，對于求解解析式一般的方法是換元思想，但要注意所求解析式的定義域；利用定義判斷函數(shù)的奇偶性；求解對數(shù)不等式時(shí)，底數(shù)未知要進(jìn)行分類討論．