Question

【題目】參加衡水中學(xué)數(shù)學(xué)選修課的同學(xué)，對某公司的一種產(chǎn)品銷量與價(jià)格進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)和散點(diǎn)圖：

定價(jià)（元/）
年銷售

（參考數(shù)據(jù)：

）

（I）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，與哪一對具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性（給出判斷即可，不必說明理由）？

（II）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果有數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（方程中的系數(shù)均保留兩位有效數(shù)字）；

（III）定價(jià)為多少元/時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？

附：對一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：.

Answer 1

【答案】（I）由散點(diǎn)圖可知，與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性; （II）; （III）定值為元/時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大.

【解析】試題分析：比較兩個(gè)散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，利用表中提供的與的對應(yīng)值計(jì)算，借助提后提供的現(xiàn)成數(shù)據(jù)再計(jì)算，得出，和，得出后再利用，有 ，得出 關(guān)于的回歸方程，注意保留小數(shù)；表示出年利潤，求導(dǎo)找出最值.

試題解析：

（I）由散點(diǎn)圖可知，與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性.

（II）由題得，，

，

，

又，

則，

∴線性回歸方程為，

則關(guān)于的回歸方程為.

（III）設(shè)年利潤為，

則，

求導(dǎo)，得，

令，解得.

由函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大，

∴定值為元/時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大.