Question

設(shè)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有的棱長都等于2，M是AB的中點．
（1）求異面直線A₁M與BC₁所成的角；（2）求四棱錐M-ACC₁A₁的體積．

Answer 1

（1）取A₁B₁中點N，連接BN、C₁N，則BN∥A₁M，∠NBC₁就是異面直線A₁M與BC₁所成的角．
因為，
由余弦定理可得 3=5+8-4 cos∠NBC₁ ，∴cos∠NBC₁=，
所以異面直線A₁M與BC₁所成的角大小為．
（2）作MP⊥AC于P，則MP⊥平面．
故四棱錐M-ACC₁A₁的體積．
分析：（1）取A₁B₁中點N，連接BN、C₁N，則BN∥A₁M，∠NBC₁就是異面直線A₁M與BC₁所成的角，由余弦定理求出
cos∠NBC₁的值，即可得到異面直線A₁M與BC₁所成的角大小．
（2）作MP⊥AC于P，則MP⊥平面，利用棱錐的體積求得結(jié)果．
點評：本題考查異面直線所成的角的定義和求法，求棱錐的體積，找出異面直線所成的角，是解題的關(guān)鍵．