Question

15．如圖，已知在側(cè)棱垂直于底面三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，點D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-B₁CD的體積．

Answer 1

分析 （I）設(shè)BC₁與CB₁的交點坐標為O，連結(jié)OD，利用中位線定理可得OD∥AC₁，故而AC₁∥平面CDB₁；
（II）求出C到AB的距離即為C到平面ABB₁A₁的距離，代入棱錐的體積公式即可．

解答 （I）證明：設(shè)BC₁與CB₁的交點坐標為O，連結(jié)OD，
∵四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，
∴O是BC₁的中點，又D是AB的中點，
∴OD∥AC₁，
又OD?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（II）解：在Rt△ABC中，C到AB的距離h=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
又平面ABC⊥平面ABB₁A₁，
∴C到平面ABB₁A₁的距離為h=$\frac{12}{5}$．
∴V${\;}_{{A}_{1}-{B}_{1}CD}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△{A}_{1}{B}_{1}D}$•h=$\frac{1}{3}×5×4×\frac{12}{5}$=16．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．