三棱錐
中, 
是
的中點,
（I）求證：
；
（II）若
，且二面角
為
,求
與面
所成角的正弦值。
（I）見解析；（II）
。
【解析】本試題主要是考查了立體幾何總空間中的線線垂直的證明以及線面角的求解的綜合運用。
（1）對于線線的垂直的證明，主要利用線面垂直的性質(zhì)定理得到，先分先要證明的線和平面，然后找突破口進而求證。
（2）而對于線面角的求解問題，既可以采用向量法，也可以采用得到斜線和斜線在平面內(nèi)的射影，借助于線面角的定義作出角，分析求解。
解：（I）如圖取
的中點
，連
，
∵
為
中點，
為中點，∴
.
∴
.
∵
∴
又
，
∴
…………4分
∵
，∴
…………6分
（II）由（I）知,
。
…………8分
,
為等腰直角三角形，
，
…………10分
又由(1)知
就是
與面
所成角
，
…………12分
在
中，
，
.
即直線與面所成角的正弦值為 …………14分
百年學典課時學練測系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
（本小題滿分12分）
在三棱錐
中，
和
都是邊長為
的等邊三角形，
，
分別是
的中點．
（Ⅰ）求證：
∥平面
；
（Ⅱ）求證：
⊥平面
；
（Ⅲ）求三棱錐的體積．
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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年新疆烏魯木齊八中高二下學期期末考試理科數(shù)學 題型：解答題
（9分）在三棱錐
中，側(cè)面
與側(cè)面
均是邊長為
的正
三角形，
，
是
的中點，
（1）求證：
平面
;
(2)求二面角
的余弦值
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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆廣東省高二上學期期末考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題
在三棱錐
中，
和
都是邊長為
的等邊三角形，
，
分別是
的中點．
（1）求證：
平面
；
（2）求證：平面
⊥平面
；
（3）求三棱錐
的體積．
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中，
和
是邊長為
的等邊三角形，
，
分別是
的中點．
∥平面
；
⊥平面
；