Question

9．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，AB=2，△PAD為等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求證AD⊥PB．
（2）在棱AB上是否存在點F，使DF與平面PDC所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$？若存在，確定線段AF的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用面面垂直，可得線面垂直，從而可得線線垂直，進而可得線面垂直，即可證得結(jié)論；
（2）利用DF與平面PDC所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求出DF，即可求出AF．

解答 （1）證明：取AD中點O，連接PO，OB，
因為平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等邊三角形，O為AD的中點，
所以PO⊥平面ABCD，PO⊥AD
因為四邊形ABCD為菱形，且∠DAB=60°，O為AD中點，
所以BO⊥AD
因為PO∩BO=O，所以AD⊥面PBO，所以AD⊥PB；
（2）解：在△OCD中，OC=$\sqrt{1+4-2×1×2×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{7}$，∴PC=$\sqrt{10}$，
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$
設(shè)A到平面PCD的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×sin120°×\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}$h，
∴h=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$，
∵DF與平面PDC所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{\frac{2\sqrt{15}}{5}}{DF}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DF=$\sqrt{3}$，
∴F是AB的中點，AF=1．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．