Question

19．在平面直角坐標系xOy中，設點A（1，0），B（0，1），C（a，b），D（c，d），若不等式$\overrightarrow{CD}$²≥（m-2）$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$+m（$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OA}$）對任何實數a，b，c，d都成立，則實數m的最大值是$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 根據條件可以求出向量$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OA}$的坐標，從而進行向量數量積的坐標運算便可求出${\overrightarrow{CD}}^{2}，\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OA}$的值，這樣將這些值代入${\overrightarrow{CD}}^{2}≥（m-2）\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$$+m（\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}）•（\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OA}）$并整理便可得出c²+a²+d²+b²≥m（ac+bd+bc）．

解答 解：根據條件，
${\overrightarrow{CD}}^{2}=（c-a）^{2}+（d-b）^{2}$，$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}=ac+bd$，$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}=b，\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OA}=c$，代入${\overrightarrow{CD}}^{2}≥（m-2）\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$$+m（\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}）•（\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OA}）$并整理得：
c²+a²+d²+b²≥m（ac+bd+bc），
即c²+a²+d²+b²-m（ac+bd+bc）≥0恒成立，配方得：
（a-$\frac{mc}{2}$）²+（d-$\frac{mb}{2}$）²+$\frac{4-{m}^{2}}{4}$（c²+b²-$\frac{4m}{4-{m}^{2}}$bc）≥0恒成立，
有（a-$\frac{mc}{2}$）²≥0，（d-$\frac{mb}{2}$）²≥0滿足，
則要：$\frac{4-{m}^{2}}{4}$（c²+b²-$\frac{4m}{4-{m}^{2}}$bc）≥0恒成立，
則有：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4-{m}^{2}}{4}≥0}\\{（-\frac{4m}{4-{m}^{2}}）^{2}-4≤0}\end{array}\right.$，
解得-2≤m≤$\sqrt{5}$-1，
所以m最大值為$\sqrt{5}$-1．

點評 考查根據點的坐標求向量的坐標，以及向量數量積的坐標運算，不等式a²+b²≥2ab的運用，清楚該不等式等號成立的條件．