Question

3．直線l⊥平面α，垂足是點(diǎn)P，正四面體OABC的棱長為2，點(diǎn)O在平面α上運(yùn)動，點(diǎn)A在直線l上運(yùn)動，則點(diǎn)P到直線BC的距離的最大值為$\sqrt{2}+1$．

Answer 1

分析 P到BC的距離為四面體上以AO為直徑的球面上的點(diǎn)到BC的距離，最大距離為BC到球心的距離（即AO與BC的公垂線）+半徑．

解答 解：由題意，直線AO與動點(diǎn)P的空間關(guān)系：
點(diǎn)P是以AO為直徑的球面上的點(diǎn)，
∴P到BC的距離為四面體上以AO為直徑的球面上的點(diǎn)到BC的距離，
最大距離為BC到球心的距離（即AO與BC的公垂線）+半徑，
∵正四面體OABC的棱長為2，∴AO與BC的公垂線長為：$\sqrt{（4-1）-1}$=$\sqrt{2}$，
以AO為直徑的球的半徑r=1，
點(diǎn)P到直線BC的距離的最大值為$\sqrt{2}+1$．
故答案為：$\sqrt{2}+1$．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)到直線的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．