Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）已知點，直線與曲線相交于點，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）直線的普通方程為：，曲線的直角坐標(biāo)方程為：；（Ⅱ）4

【解析】

（Ⅰ）使用代入法消參，可得直線的普通方程，根據(jù)，結(jié)合二倍角的余弦公式，可得曲線的直角坐標(biāo)方程

（Ⅱ）寫出直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后聯(lián)立曲線的方程，可得關(guān)于參數(shù)的一元二次方程，根據(jù)的幾何意義，可得結(jié)果.

（Ⅰ）由（為參數(shù)），所以

則直線的普通方程為：

由，所以

又，所以

則曲線的直角坐標(biāo)方程為：

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：

直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式為：（為參數(shù)）

將該方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程

化簡可得：

設(shè)點所對應(yīng)的參數(shù)分別為

所以，則

所以

則