Question

13．（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S₂=4，a_n+1=2S_n+1，n∈N⁺，則a₁=1
（2）設(shè)S_n為等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若a₁=1且3S₁，2S₂，S₃成等差數(shù)列，則a_n=3^n-1．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n與通項(xiàng)公式a_n的關(guān)系列出方程組，能求出首項(xiàng)a₁．
（2）利用等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和及等差數(shù)列性質(zhì)列出方程求出公比，由此能求出a_n．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
∵S₂=4，a_n+1=2S_n+1，n∈N⁺，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{2}=4}\\{{a}_{2}=2{S}_{1}+1=2{a}_{1}+1}\end{array}\right.$，
解得a₁=1．
故答案為：1．
（2）設(shè)S_n為等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，
∵a₁=1且3S₁，2S₂，S₃成等差數(shù)列，
∴4S₂=3S₁+S₃，即4（1+q）=3+$\frac{1-{q}^{3}}{1-q}$，
解得q=3，或q=0（舍），
a_n=3^n-1．
故答案為：3^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的首項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．