Question

已知函數(shù)，
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=1的圖象在區(qū)間上有公共點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)各項為正的數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N*，求證：a_n≤2ⁿ-1。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），，
令f′（x）=0得x=e^1-a，
當(dāng)是增函數(shù)；
當(dāng)是減函數(shù)；
∴f（x）在x= 處取得極大值，，無極小值。
（Ⅱ）①當(dāng)時，即a＞-1時，
由（Ⅰ）知上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
∴，
又當(dāng)時，f（x）=0，
 
時，，
∴f（x）與函數(shù)g（x）=1的圖象在上有公共點(diǎn)解得a≥1，
又a＞-1，所以a≥1。
②當(dāng)時，上是增函數(shù)，
∴f（x）在上的最大值為，
所以原問題等價于
又，∴無解；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是。
（Ⅲ）令a=1，由（Ⅰ）知，，
∴，
，假設(shè)，
則，
故，
從而，
∴，
即，
∴。