Question

15．對于數(shù)列{a_n}，定義其積數(shù)是V_n=$\frac{{{a_1}•a{\;}_2•a{\;}_3…{a_n}}}{n}，（{n∈{N_+}}）$．
（1）若數(shù)列{a_n}的積數(shù)是V_n=n+1，求a_n；
（2）等比數(shù)列{a_n}中，a₂=3，a₃是a₂和a₄的等差中項，若數(shù)列{a_n}的積數(shù)V_n滿足V_n≥$\frac{2t-1}{n}$對一切n∈N₊恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由新定義，可將n換為n-1，兩式相除，即可得到數(shù)列{a_n}的通項，注意檢驗首項；
（2）運用等差數(shù)列的性質和等比數(shù)列的通項公式，由不等式恒成立思想轉化為求數(shù)列的最值，即可得到t的范圍．

解答 解：（1）∵V_n=n+1，∴a₁•a₂•a₃•…•a_n=n（n+1）…①
當n≥2，∴a₁•a₂•a₃…a_n-1=（n-1）•n…②
$\frac{①}{②}$得：${a_n}=\frac{n+1}{n-1}$，
當n=1，a₁=V₁=2，
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2\\ \frac{n+1}{n-1}\end{array}\right.$$\begin{array}{l}{（{n=1}）}\\{（{n≥2，n∈{N_+}}）}\end{array}$；
（2）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₃是a₂和a₄的等差中項，且a₂=3，
∴2a₃=a₂+a₄
$2{a_2}•q={a_2}+{a_2}{q^2}$，
q²-2q+1=0，即（q-1）²=0，
∴q=1，
∴${a_n}=3，則{V_n}=\frac{3^n}{n}≥\frac{2t-1}{n}（{n∈{N_+}}）$恒成立，
即2t-1≤（3ⁿ）_min
即2t-1≤3即t≤2．

點評 本題考查新定義的理解和運用，主要考查等差數(shù)列的性質和等比數(shù)列的通項公式的運用，考查不等式恒成立問題轉化為求最值，屬于中檔題和易錯題．