Question

10．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，若橢圓上存在點P使得∠F₁PF₂是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是（　　）

• A． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• C． $（0，\frac{1}{2}）$
• D． $（\frac{1}{2}，1）$

Answer 1

分析 當動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，P對兩個焦點的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當且僅當P點位于短軸端點P₀處時，張角∠F₁PF₂達到最大值，由此可得結(jié)論．

解答 解：如圖，當動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，P對兩個焦點的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當且僅當P點位于短軸端點P₀處時，張角∠F₁PF₂達到最大值．由此可得：
∵橢圓上存在點P使得∠F₁PF₂是鈍角，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂＞90°，
∴Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂＞45°，
所以P₀O＜OF₂，即b＜c，
∴a²-c²＜c²，可得a²＜2c²，
∴e＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜1．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．