Question

已知拋物線y²=2px（p>0），點(diǎn)P，線段OP的垂直平分線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，經(jīng)過F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N 。
（I）求拋物線的方程；
（II）直線MN是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過，試說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由P（），O（0，0），
∴k_OP=，OP的中點(diǎn)為，
∴OP的垂直平分線所在直線方程y，即2x+y-2=0。
令y=0，解得：x=1，
故得：p=2，
∴拋物線方程為：y²=4x。
（Ⅱ）假設(shè)直線MN過定點(diǎn)，
設(shè)A（x_A，y_A），B (x_B，y_B)，M(x_M，y_M)，
設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k(x-1)，
聯(lián)立，可得：k²x²-(2k²+4)x+k²=0，
由韋達(dá)定理，得x_A+x_B=2+，
所以，x_M=1+，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1+，-2k），
當(dāng)k≠±1時(shí)，
直線MN的斜率為：，
直線方程為，
整理得：y(1-k²)=k(x-3)，
∴直線恒經(jīng)過定點(diǎn)（3，0），
當(dāng)k=±1時(shí)，直線MN方程為x=3，經(jīng)過（3，0），
綜上，不論k為何值，直線MN恒過定點(diǎn)（3，0）。