Question

20.設A、B是雙曲線x²－=1上的兩點，點N（1，2）是線段AB的中點.

（Ⅰ）求直線AB的方程；

（Ⅱ）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？

Answer 1

20.

解：（Ⅰ）依題意，可設直線AB的方程為y=k（x－1）+2，

 

代入x²－=1，整理得（2－k²）x²－2k（2－k）x－（2－k）²－2=0.�、�

 

記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程①的兩個不同的根，所以2－k²≠0，

 

且x₁+x₂=.

 

由N（1，2）是AB的中點得（x₁+x₂）=1，

∴k（2－k）=2－k²，

解得k=1，所以直線AB的方程為y=x+1.

 

（Ⅱ）將k=1代入方程①得x²－2x－3=0，

解出x₁=－1，x₂=3.

由y=x+1得y₁=0，y₂=4.即A、B的坐標分別為（－1，0）和（3，4）.

由CD垂直平分AB，得直線CD的方程為y=－（x－1）+2，即y=3－x.

代入雙曲線方程，整理得x²+6x－11=0.�、�

記C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），以及CD的中點為M（x₀，y₀），則x₃，x₄是方程②的兩個根.

所以x₃+x₄=－6，x₃x₄=－11.

 

從而x₀=（x₃+x₄）=－3，y₀=3－x₀=6.

 

|CD|=

=

=.

∴|MC|=|MD|=|CD|=2.

又|MA|=|MB|=

==2.

即A、B、C、D四點到點M的距離相等，所以A、B、C、D四點共圓.