Question

深圳科學高中大約共有600臺空調(diào)，空調(diào)運行所釋放的氟里昂會破壞大氣上層的臭氧層．假設臭氧層含量W呈指數(shù)型函數(shù)變化，滿足關系W=W0e-0.02t，其中W₀是臭氧的初始量．（參考數(shù)據(jù) e-0.6932=

1

2

）
（1）判斷函數(shù)W=W0e-0.02t的單調(diào)性，并用定義證明．
（2）多少年后將會有一半的臭氧消失？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，即可證明；
（2）一半的臭氧消失時，W=

1

2

W0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)W=W0e-0.02t的定義域為[0，+∞），在[0，+∞）上為減函數(shù)．…（2分）
證明：對任意的t₁，t₂∈[0，+∞）且t₁＜t₂，有      …（3分）

W1

W2

=

W0e-0.02t1

W0e-0.02t2

=(e-0.02)t1-t2．…（5分）
又t₂＞t₁≥0，所以t₁-t₂＜0，
又0＜e^-0.02＜1，所以(e-0.02)t1-t2＞1，即W₁＞W(wǎng)₂．…（7分）
所以，函數(shù)W=W0e-0.02t在[0，+∞）上為減函數(shù)．…（8分）
（2）一半的臭氧消失時，W=

1

2

W0，所以                 …（9分）
W=W0e-0.02t=

1

2

W0，e-0.02t=

1

2

=e-0.06932，
解得，t=34.66．…（11分）
即34.66年后，將會有一半的臭氧消失．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的選擇與應用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．