Question

19．已知函數f（x）=lnx+x²+x．正實數x₁，x₂滿足f（x₁）+f（x₂）+x₁x₂=0，則下述結論中正確的一項是（　�。�

• A． x₁+x₂≥$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． x₁+x₂＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• C． x₁+x₂≥$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• D． x₁+x₂＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 得到（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）=x₁x₂-ln（x₁x₂），這樣令t=x₁x₂，t＞0，容易求得函數t-lnt的最小值為1，從而得到（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）≥1，解這個關于x₁+x₂的一元二次不等式即可得出要證的結論．

解答 由f（x₁）+f（x₂）+x₁x₂=0，
即lnx₁+x₁²+x₁+lnx₂+x₂²+x₂+x₁x₂=0，
從而（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）=x₁x₂-ln（x₁x₂），
令t=x₁x₂，則由h（t）=t-lnt得，h′（t）=$\frac{t-1}{t}$，
可知，h（t）在區(qū)間（0，1）上單調遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，
∴h（t）≥h（1）=1，
∴（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）≥1，又x₁+x₂＞0，因此x₁+x₂≥$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$成立．
故選：A．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及換元思想、轉化思想，不等式的解法，屬于中檔題．