Question

已知函數f（x）=

1，(x＞0) 0   (x=0) -1  (x＜0)

下列敘述：
①f（x）是奇函數；
②y=xf（x）為奇函數；
③（x+1）f（x）＜3的解為-2＜x＜2；
④xf（x+1）＜0的解為-1＜x＜1．
其中正確的是

 

．（填序號）

Answer 1

分析：由題中的函數解析式和奇函數的定義分別去判斷①和②；根據分段函數對x分三種情況，求解對應的不等式得解集，最后再并在一起，再與給出的答案對照．

解答：解：①由題意知f（0）=0且函數的定義域是R，當x＞0時，f（-x）=-1=-f（x），
當x＜0時，f（-x）=-1=-f（x），故①對；
②當x＞0時，f（-x）=（-1）（-x）=x=f（x），則不是奇函數，故②不對；
③當x=0時，f（0）=0＜3，成立；當x＞0時，不等式為x+1＜3解得0＜x＜2；
當x＜0時，不等式為-x-1＜3，解得-4＜x＜0；
綜上，不等式得解集是（-4，2），故③不對；
④當x=-1時，f（-1+1）=0＜3，成立；當x＞-1時，不等式為x＜0解得-1＜x＜0；
當x＜-1時，不等式為-x＜0，解得無解；
綜上，不等式得解集是[-1，0），故③不對；
故答案為①．

點評：本題的考點是分段函數判斷奇偶性和求分段函數構成的不等式的解集，需要根據分段函數的不同范圍對應不同的解析式進行對x分類進行求解．