Question

已知橢圓C：

x2

12

+

y2

4

=1和圓M：（x+3）²+（y-2）²=r²（r＞0）交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求圓M的方程；
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可得OM⊥AB，求出OM以及OM的斜率，再求出直線AB的斜率和方程，與橢圓的方程聯(lián)立求出A、B的坐標(biāo)，再求出|AB|和半徑r，即可求出圓M的方程；
（2）設(shè)直線AB的方程是y=kx+2，分別和橢圓、圓的方程聯(lián)立求出A、B的坐標(biāo)和直線AB的方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式和三角形的面積公式，求出△OAB的面積．

解答： 解：（1）∵A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴圓M的弦AB中點(diǎn)是O，則OM⊥AB，
由圓M：（x+3）²+（y-2）²=r²（r＞0）得，M（-3，2），
則點(diǎn)M到直線AB的距離是OM=

9+4

=

13

，
且k_OM=-

2

3

，則kAB=

3

2

，∴直線AB的方程是3x-2y=0，
由

x2 12 + y2 4 =1 3x-2y=0

得，A、B的坐標(biāo)是(

4 3

31

，

6 3

31

)，(-

4 3

31

，-

6 3

31

)，
∴弦|AB|=

4( 4 3 31 )2+( 6 3 31 )2

=

4 39

31

，
∴r²=OM2+(

|AB|

2

)2=

559

31

，
所以圓M的方程是：（x+3）²+（y-2）²=

559

31

；
（2）由題意設(shè)直線AB的方程是y=kx+2，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 12 + y2 4 =1 y=kx+2

得，（1+3k²）x²+12kx=0，
∴x₁=0，x₂=-

12k

1+3k2

，
把點(diǎn)A（0，2）代入（x+3）²+（y-2）²=r²，解得r²=9，
由

(x+3)2+(y-2)2=9 y=kx+2

得，（1+k²）x²+6x=0，
∴x₁=0，x₂=-

6

1+k2

，
由-

12k

1+3k2

=-

6

1+k2

得，2k³-3k²+2k-1=0，
則（k-1）（2k²-k+1）=0，解得k=1，
∴A（0，2），B（-3，-1），直線AB的方程是y=x+2，
則|AB|=3

2

，點(diǎn)O到直線AB的距離d=

|2|

2

=

2

，
∴△OAB的面積S=

1

2

×3

2

×

2

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，以及圓的弦的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力．