Question

若原點到直線bx+ay=ab的距離等于

1

3

a2+b2

+1，則雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的半焦距的最小值為（　�。�

• A、2
• B、3
• C、5
• D、6

Answer 1

分析：先根據(jù)點到直線的距離求得知知

ab

a2+b2

=-

ab

c

=

c

3

+1，進而根據(jù)均值不等式的性質(zhì)求得-ab≤

a2+b2

2

=

c2

2

求得c的范圍．

解答：解：∵c²=a²+b²
∴原點到直線bx+ay=ab的距離等于

c

3

+1
依題意可知

ab

a2+b2

=-

ab

c

=

c

3

+1
∴-ab=

1

3

c²+c
∵-ab≤

a2+b2

2

=

c2

2

∴

1

3

c²+c≤

c2

2

，解得c≥6或c≤0（舍去）
∴雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的半焦距的最小值為6．
故選D．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的關鍵是利用點到直線的距離求得a，b和c的關系．