Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求在上的最小值；

（2）若，當(dāng)有兩個極值點時，總有，求此時實數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，由于不能因式分解，但是能觀察出零點，進一步求二階導(dǎo)可知導(dǎo)函數(shù)單調(diào)，所以導(dǎo)函數(shù)只有唯一零。（2）由，所以方程 有兩個不同的實根 ，通過韋達定理把待證不等式消去，再分離參數(shù)t，可解。

試題解析：（Ⅰ） ，

, ∴

∴在單調(diào)遞增，又

∴， 在單調(diào)遞減

， 在單調(diào)遞增

∴

（Ⅱ），

根據(jù)題意，方程 有兩個不同的實根 ，

所以，且 ， ， ．

由

可得，又 ，

所以上式化為對任意的恒成立．

（I）當(dāng) 時，不等式恒成立， ；

（II）當(dāng) 時， 恒成立，即．

令函數(shù)，顯然， 是 上的增函數(shù)，

所以當(dāng) 時， ，

所以 ．

（III）當(dāng) 時， 恒成立，即．

由（II），當(dāng) 時， ，所以 ．

綜上所述