Question

下列結(jié)論正確的是

 

（寫出正確結(jié)論的序號）
①直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，無論m為何值時，l恒過定點（3，1）
②若a₁，a₂，…，a₂₀這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

.

x

，方差為0.20，則a₁，a₂，…，a₂₀，

.

x

這21個數(shù)據(jù)的方差為0.2．
③某同學使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15，那么由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差為-3．
④過直線l₁：x+2=0與l₂：4x+3y+5=0的交點，且與點A（-1，-2）的距離等于1的直線l的方程為3x+y+5=0．
⑤若直線y=x+k和半圓y=

1-x2

只有一個交點，則k的取值范圍為-1≤k＜1．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，化為m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，聯(lián)立

2x+y-7=0 x+y-4=0

，解得即可得出；
②若a₁，a₂，…，a₂₀這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

.

x

，方差為0.20，則a₁，a₂，…，a₂₀，

.

x

這21個數(shù)據(jù)的平均數(shù)=

20 . x + . x

21

=

.

x

，沒有改變，因此方差變?yōu)?span id="mihimmy" class="MathJye">

1

21

(20×0.2+0)．
③某同學使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15，那么由此求出的平均數(shù)=

29 i=1 xi+15

30

，實際平均數(shù)=

29 i=1 +105

30

，即可判斷出；
④聯(lián)立

x+2=0 4x+3y+5=0

，解得

x=-2 y=1

，即（-2，1），分類討論：當直線l的斜率存在時，設(shè)方程為y-1=k（x+2），由點A（-1，-2）的距離等于1，可得

|-k+2+2k+1|

1+k2

=1，解得k；當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=-2，即可判斷出．
⑤若直線y=x+k和半圓y=

1-x2

只有一個交點，如圖所示，當-1≤k＜1．時，直線與半圓只有一個交點；當直線與半圓相切時，k=

2

．即可判斷出．

解答： 解：①直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，化為m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，聯(lián)立

2x+y-7=0 x+y-4=0

，解得

x=3 y=1

，
因此無論m為何值時，l恒過定點（3，1），正確；
②若a₁，a₂，…，a₂₀這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

.

x

，方差為0.20，則a₁，a₂，…，a₂₀，

.

x

這21個數(shù)據(jù)的平均數(shù)=

20 . x + . x

21

=

.

x

，沒有改變，因此方差變?yōu)?span id="q3wvbgn" class="MathJye">

1

21

(20×0.2+0)=

20

21

×0.2，因此不正確．
③某同學使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15，那么由此求出的平均數(shù)=

29 i=1 xi+15

30

，
實際平均數(shù)=

29 i=1 +105

30

，其差=

15-105

30

=-3，正確．
④直線l₁：x+2=0與l₂：4x+3y+5=0的交點，滿足

x+2=0 4x+3y+5=0

，解得

x=-2 y=1

，即（-2，1），當直線l的斜率存在時，設(shè)方程為y-1=k（x+2），由點A（-1，-2）的距離等于1，可得

|-k+2+2k+1|

1+k2

=1，解得k=-

4

3

．化為4x+3y+5=0；當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=-2，因此③不正確．
⑤若直線y=x+k和半圓y=

1-x2

只有一個交點，如圖所示，當-1≤k＜1．時，直線與半圓只有一個交點；當直線與半圓相切時，k=

2

．因此k的取值范圍為
-1≤k＜1或k=

2

，故不正確．
綜上可得：只有①③正確．
故答案為：①③．

點評：本題綜合考查了簡易邏輯的判定、直線系的應(yīng)用、平均數(shù)與方差的計算、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題．