Question

11．已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正整數(shù)，首項(xiàng)為a₁=1，a_n²-a_n-1²=a_n+a_n-1（n≥2）
（1）求證{a_n}是等差數(shù)列并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$求證：數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n＜1．

Answer 1

分析 由a_n²-a_n-1²=a_n+a_n-1可得a_n-a_n-1=1，從而證明并求通項(xiàng)公式；
（2）化簡(jiǎn)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，從而利用裂項(xiàng)求和法求其前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵a_n²-a_n-1²=a_n+a_n-1，
∴（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=a_n+a_n-1，
∵數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正整數(shù)，
∴a_n-a_n-1=1，
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=n；
（2）證明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故S_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=1-$\frac{1}{n+1}$＜1；
故S_n＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的思想的應(yīng)用及裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．