Question

10．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₄=7且4S_n=n（a_n+a_n+1），則S_n-6a_n的最小值為（　　）

• A． -36
• B． -30
• C． -27
• D． -20

Answer 1

分析 a₄=7且4S_n=n（a_n+a_n+1），可得：a₂=3a₁，a₃=5a₁，a₄=7a₁=7，解得a₁，a₂，a₃，a₄，…，猜想a_n=2n-1．可得S_n=n²．驗(yàn)證滿足4S_n=n（a_n+a_n+1），代入S_n-
6a_n，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵a₄=7且4S_n=n（a_n+a_n+1），
可得：a₂=3a₁，a₃=5a₁，a₄=7a₁=7，
解得a₁=1，a₂=3，a₃=5，a₄=7，…，
猜想a_n=2n-1．
可得S_n=n²．
驗(yàn)證滿足4S_n=n（a_n+a_n+1），
∴S_n-6a_n=n²-6（2n-1）=n²-12n+6=（n-6）²-30≥-30，
當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)取等號(hào)，
∴S_n-6a_n的最小值為-30．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、數(shù)列的通項(xiàng)公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．