Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax，g（x）=

1

2

x²-lnx-

5

2

．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處的切線與x軸平行，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若對一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）記G（x）=

1

2

x²-

5

2

-g（x），求證：G（x）＞

1

ex

-

2

ex

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（Ⅰ）若f（x）在x=1處的切線與x軸平行，f（x）  在x=1處的切線斜率為0，即可求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）原不等式可化為a≤（2lnx+

3

x

+x）_min．
（Ⅲ）原不等式可化為lnx＞

1

ex

-

2

ex

，即證xlnx＞

x

ex

-

2

e

成立，確定左邊的最小值，右邊的最大值，即可證明．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-a，
∵f（x）在x=1處的切線與x軸平行，
∴f（x）  在x=1處的切線斜率為0
即f′（1）=3-a，∴a=3；
（Ⅱ）原不等式可化為：x³-ax≥2x（

1

2

x2-lnx-

5

2

）-x²+5x-3，
∵x＞0，∴化簡得：a≤（2lnx+

3

x

+x）_min．
記t（x）=2lnx+

3

x

+x（x＞0），則t′（x）=

x2+2x-3

x2

令t′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，
∴在（0，1）上，t′（x）＜0，在（1，+∞）上，t′（x）＞0
∴t（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．
故當x=1時，t（x）有最小值為4，故a∈（-∞，4]；
（Ⅲ）化簡得G（x）=lnx，原不等式可化為lnx＞

1

ex

-

2

ex

，即證xlnx＞

x

ex

-

2

e

成立，
記F（x）=xlnx，可求其最小值為F（

1

e

）=-

1

e

，
記H（x）=

x

ex

-

2

e

，可求其最大值為H（1）=-

1

e

，
顯然x∈（0，+∞），F(xiàn)（x）＞H（x），故原不等式成立．

點評：本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調性與最值，考查不等式的證明，正確求導是關鍵．